Resolver ecuaciones cuadráticas es
fundamental en el aprendizaje de las matemáticas escolares, es un hecho
ineludible que te debes de haber encontrado alguna vez con esta fórmula:
Cuya memorización
se considera en algunos casos el logro máximo del curso preparatorio para el
curso de cálculo de la escuela, y lo es, pues el recordarla de memoria es
sinónimo de inteligencia superior (?).
Pues existen
varias formas de resolver ecuaciones cuadráticas diferentes a aquella fórmula
engorrosa y poco llamativa, algunas peor de complejas e incomprensibles para
nosotros los seres humanos normales, otras requieren un poco más destreza pero con
el uso de algunas herramientas tecnológicas se pueden desarrollar habilidades
mucho mejores que la memorización, de éste método hablaremos a continuación.
Partiremos haciendo algunas aclaraciones
con respecto a esto de “resolver ecuaciones cuadráticas”, primero, resolver una
ecuación se podría definir –sin querer ser minucioso- como hallar el valor que
satisface una igualdad matemática. Segundo, en este caso hablaremos de las
ecuaciones cuadráticas que están igualadas a 0, por ejemplo:
{ x }^{ 2 }-4x+7=0
Pues es
utilizado en aspectos importantes de las matemáticas un poco más avanzadas, como es
el proceso de búsqueda de los cortes de una función cuadrática con el eje x de
un plano cartesiano, proceso que sirve mucho en problemas de la física y la economía. ¿podría este proceso funcionar para ecuaciones igualadas a otros números?
Ahora al grano, para resolver una ecuación cuadrática, procedemos de la siguiente manera:
sea\quad { x }^{ 2 }+3x-3=0
primero:
sumamos\quad el\quad término\quad independiente\quad \\ (el\quad que\quad no\quad tiene\quad x)\quad en\quad ambos\quad lados\quad de\quad la\quad ecuación:
{ x }^{ 2 }+3x-3=0
{ x }^{ 2 }+3x-3+3=0+3
{ x }^{ 2 }+3x=3
segundo:
realizamos\quad una\quad factorización\quad en\quad el\quad término\quad de\quad la\quad derecha:
{ x }^{ 2 }+3x=3
x(x+3)=3
Tercero:
$$dividimos\quad ambos\quad términos\quad entre\quad x:$$
x(x+3)=3
\frac { x(x+3) }{ x } =\frac { 3 }{ x }
x+3=\frac { 3 }{ x }
cuarto:
en este paso lo que hacemos es graficar 2 ecuaciones en el plano cartesiano, que es similar a resolver un sistema de ecuaciones de 2X2:
\begin{cases} y=x+3 \\ y=\frac { 3 }{ x } \end{cases}
aclaración, lo que haremos es buscar los números x que hacen que la y sea la misma en el sistema de ecuaciones:
en este caso serán los valores x de las intersecciones A y B, en este caso, 0,79 y -3,79, respectivamente.
luego basta con graficar estos valores sobre el eje x y verificar que efectivamente la función pasa por aquellos puntos:
y listo, está resuelta la ecuación cuadrática, ahora inténtalo tú, en el siguiente enlace podrás encontrar un ejercicio para apliques lo que has aprendido.
este método no parece nada del otro mundo, y también parece un poco más complejo que la forma tradicional u otras formas existentes para resolverlo sin embargo es interesante observar que este método se puede aplicar para resolver ecuaciones de mayor grado, cúbicas, cúarticas... en fin, es posible que para la mayoría de casos sea posible, no me atrevo a demostrarlo, por ahora.
quieres ver cómo se resuelve una cúbica con este método, visita el siguiente recurso:
¿te atreverías a resolver una cúartica? inténtalo y sube el resultado puedes utilizar geogebra online como herramienta.
Nota:
este método tiene varias cuestiones didácticas que se pueden rescatar, haciendo de este no un método del todo ágil, pero si un método que requiere utilizar conceptos y procedimientos matemáticos distintos al de la memoria, más aún con el uso de los recursos presentados, espero se de su agrado
documentos de apoyo
Ahora al grano, para resolver una ecuación cuadrática, procedemos de la siguiente manera:
sea\quad { x }^{ 2 }+3x-3=0
primero:
sumamos\quad el\quad término\quad independiente\quad \\ (el\quad que\quad no\quad tiene\quad x)\quad en\quad ambos\quad lados\quad de\quad la\quad ecuación:
{ x }^{ 2 }+3x-3=0
{ x }^{ 2 }+3x-3+3=0+3
{ x }^{ 2 }+3x=3
segundo:
realizamos\quad una\quad factorización\quad en\quad el\quad término\quad de\quad la\quad derecha:
{ x }^{ 2 }+3x=3
x(x+3)=3
Tercero:
$$dividimos\quad ambos\quad términos\quad entre\quad x:$$
x(x+3)=3
\frac { x(x+3) }{ x } =\frac { 3 }{ x }
x+3=\frac { 3 }{ x }
cuarto:
en este paso lo que hacemos es graficar 2 ecuaciones en el plano cartesiano, que es similar a resolver un sistema de ecuaciones de 2X2:
\begin{cases} y=x+3 \\ y=\frac { 3 }{ x } \end{cases}
aclaración, lo que haremos es buscar los números x que hacen que la y sea la misma en el sistema de ecuaciones:
en este caso serán los valores x de las intersecciones A y B, en este caso, 0,79 y -3,79, respectivamente.
luego basta con graficar estos valores sobre el eje x y verificar que efectivamente la función pasa por aquellos puntos:
y listo, está resuelta la ecuación cuadrática, ahora inténtalo tú, en el siguiente enlace podrás encontrar un ejercicio para apliques lo que has aprendido.
este método no parece nada del otro mundo, y también parece un poco más complejo que la forma tradicional u otras formas existentes para resolverlo sin embargo es interesante observar que este método se puede aplicar para resolver ecuaciones de mayor grado, cúbicas, cúarticas... en fin, es posible que para la mayoría de casos sea posible, no me atrevo a demostrarlo, por ahora.
quieres ver cómo se resuelve una cúbica con este método, visita el siguiente recurso:
Nota:
este método tiene varias cuestiones didácticas que se pueden rescatar, haciendo de este no un método del todo ágil, pero si un método que requiere utilizar conceptos y procedimientos matemáticos distintos al de la memoria, más aún con el uso de los recursos presentados, espero se de su agrado
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